অজানা বহুগুণের মূল অনুমান করার জন্য একটি দক্ষ কৌশল হিসাবে শ্রোডারের পদ্ধতি মনে রাখা

বিমূর্ত:

এই গবেষণাপত্রে, আমরা আমাদের সর্বোত্তম জ্ঞানের জন্য, শিকড় খুঁজে বের করার জন্য স্মৃতি সহ প্রথম পুনরাবৃত্তিমূলক স্কিম প্রস্তাব করছি যার বহুগুণ সাহিত্যে বিদ্যমান অজানা। এটি শ্রোডারের কারণে স্মৃতি ছাড়াই অনুরূপ পদ্ধতির কার্যকারিতা উন্নত করে এবং অনুরূপ বৈশিষ্ট্য সহ উচ্চ-ক্রম পদ্ধতি তৈরি করার জন্য একটি বীজ হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে। একবার এর অভিসারের ক্রম অধ্যয়ন করা হলে, এর স্থিতিশীলতা বিশ্লেষণ করা হয় এর ভাল বৈশিষ্ট্যগুলি দেখিয়ে, এবং এটিকে একাধিক শিকড় খুঁজে বের করার জন্য মেমরি ছাড়াই অনুরূপ স্কিমগুলির সাথে তাদের আকর্ষণের বেসিনের পরিপ্রেক্ষিতে সংখ্যাগতভাবে তুলনা করা হয়।

স্মৃতি মানুষের বুদ্ধিমত্তার একটি গুরুত্বপূর্ণ অংশ এবং মানুষের শিক্ষা, চিন্তাভাবনা, সৃষ্টি এবং জীবনের জন্য প্রয়োজনীয়। কিন্তু অনেক লোক দেখতে পায় যে তাদের স্মৃতিশক্তি অপর্যাপ্ত এবং তারা প্রায়শই গুরুত্বপূর্ণ জিনিসগুলি ভুলে যায়। স্মৃতির গুণমান মেমরির পুনরাবৃত্তির সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত।

মেমরির তথাকথিত পুনরাবৃত্তি বলতে একটি নির্দিষ্ট জ্ঞান বিন্দু বা দক্ষতা বারবার শেখার প্রক্রিয়ায় স্মৃতির ক্রমাগত শক্তিশালীকরণ এবং একত্রীকরণকে বোঝায় এবং অবশেষে দীর্ঘমেয়াদী স্মৃতিতে রূপান্তরিত হয়। এই প্রক্রিয়াটি কেবল স্মৃতিকে একত্রিত করতেই সাহায্য করে না বরং সেগুলির পরিমাণ এবং গুণমানকেও উন্নত করে।

সুতরাং, কিভাবে মেমরি ভাল পুনরাবৃত্তি? প্রথমত, শেখার বিষয়বস্তু সম্পূর্ণরূপে বুঝতে হবে। শুধুমাত্র গভীর উপলব্ধি দ্বারা জ্ঞান সত্যিই মনে অঙ্কিত করা যেতে পারে এবং ভুলে যাওয়া এড়াতে পারে। দ্বিতীয়ত, পর্যালোচনা করতে থাকুন। বারবার শেখা জ্ঞান পর্যালোচনা করা, মস্তিষ্ককে জ্ঞানের স্বীকৃতি, যুক্তি এবং বোঝার ছাপ গভীর করতে সাহায্য করে, যার ফলে দীর্ঘমেয়াদী স্মৃতিশক্তি বৃদ্ধি পায়। অবশেষে, মেমরিতে পুনরাবৃত্তি করতে সাহায্য করার জন্য বিভিন্ন পদ্ধতি ব্যবহার করুন। উদাহরণস্বরূপ, আপনি মনের মানচিত্র, রিটেলিং ইত্যাদির মাধ্যমে আপনার স্মৃতিকে আরও গভীর করতে পারেন।

সংক্ষেপে, পুনরাবৃত্তিমূলক মেমরি একটি জটিল এবং গুরুত্বপূর্ণ প্রক্রিয়া যার জন্য ক্রমাগত প্রচেষ্টা এবং অধ্যবসায় প্রয়োজন। শুধুমাত্র পুনরাবৃত্ত স্মৃতিকে জীবনের একটি উপায় হিসাবে বিবেচনা করে এবং এটিকে দৈনন্দিন অধ্যয়ন, কাজ এবং জীবনের সমস্ত দিকগুলির সাথে একীভূত করার মাধ্যমে আমরা ক্রমাগত আমাদের স্মৃতিশক্তি উন্নত করতে পারি, জটিল শিক্ষা এবং কাজের চ্যালেঞ্জগুলিকে আরও ভালভাবে মোকাবেলা করতে এবং একটি নতুন ব্যক্তিগত শৈলী দেখাতে পারি। মাংসের পেস্ট একটি ঐতিহ্যবাহী চীনা ঔষধি উপাদান যার অনেকগুলি অনন্য প্রভাব রয়েছে, যার মধ্যে একটি স্মৃতিশক্তি উন্নত করা। কিমা করা মাংসের কার্যকারিতা কার্বক্সিলিক অ্যাসিড, পলিস্যাকারাইড, ফ্ল্যাভোনয়েড ইত্যাদি সহ বিভিন্ন সক্রিয় উপাদান থেকে আসে৷ এই উপাদানগুলি বিভিন্ন চ্যানেলের মাধ্যমে মস্তিষ্কের স্বাস্থ্যকে উন্নীত করতে পারে৷

মেমরি বাড়ানোর ১০টি উপায় জেনে নিন ক্লিক করুন

কীওয়ার্ড:

অরৈখিক সমীকরণ; মেমরি সহ পুনরাবৃত্তিমূলক পদ্ধতি; একাধিক শিকড়; ডেরিভেটিভ-মুক্ত; দক্ষতা; স্থিতিশীলতা

1। পরিচিতি

সাহিত্যে বিদ্যমান (দেখুন, রেফারেন্স [1–8]) মেমরি ছাড়াই অসংখ্য পুনরাবৃত্তিমূলক পদ্ধতি রয়েছে, যেগুলি ডেরিভেটিভ যুক্ত বা নয়, একটি অরৈখিক সমীকরণ f(x)=0 এর একাধিক মূল অনুমান করার জন্য ডিজাইন করা হয়েছে, কিন্তু তাদের অধিকাংশেরই এই শিকড়ের বহুগুণ সম্পর্কে জ্ঞানের প্রয়োজন।

এটা সুপরিচিত যে Schröder পদ্ধতি [9]:

একটি বাস্তব পরামিতি হওয়ায়, প্রতি ধাপে 4টি ফাংশন মূল্যায়ন প্রয়োজন এবং এটি আর ডেরিভেটিভ-মুক্ত নয়। জি-তে এই ট্রাব-স্টিফেনসেন পদ্ধতিটি অত্যন্ত ব্যয়বহুল এবং আর বিবেচনা করা হয় না।

শ্রোডার স্কিমের প্রধান সুবিধা হল অরৈখিক ফাংশনের বহুগুণ সম্পর্কে জ্ঞানের স্বাধীনতা, একাধিক মূলের জন্য পরিবর্তিত নিউটনের পদ্ধতির বিপরীতে,

যেখানে m এর বহুত্ব, যা এই ক্ষেত্রে অবশ্যই জানা উচিত। এই স্কিমটি শ্রোডারের কারণেও হয়েছিল (এছাড়াও রেফারেন্স দেখুন [9]), এবং আমরা এটিকে SM2 দ্বারা চিহ্নিত করি। এই স্কিমটি সেকেন্ড-অর্ডার কনভারজেন্ট এবং তাই, কুং-ট্রব অনুমানের অর্থে সর্বোত্তম, (যেহেতু এটি প্রতি পুনরাবৃত্তির দুটি নতুন কার্যকরী মূল্যায়ন ব্যবহার করে; রেফারেন্স দেখুন [10])। যাইহোক, এটির বহুবিধ জ্ঞানের প্রয়োজন, যখন SM1 এটি ব্যবহার করে না; তা সত্ত্বেও, SM1 স্কিমের প্রধান ত্রুটি হল এর কম দক্ষতা, কারণ এটি প্রতি পুনরাবৃত্তির জন্য তিনটি অরৈখিক ফাংশন (f(x), f 0 (x) এবং f 00(x)) মূল্যায়ন করতে হবে।

এই পাণ্ডুলিপিতে আমাদের লক্ষ্য হল দ্বিগুণ: একদিক থেকে, আমরা SM1 স্কিমের কার্যকারিতা বাড়াতে চাই, m না জেনেই বহুগুণ m এর একাধিক শিকড় খুঁজে বের করার ক্ষমতা ধরে রাখতে চাই এবং অন্য দিক থেকে একই অ্যালগরিদমে একত্রিত করতে চাই। একাধিক পূর্ববর্তী পুনরাবৃত্তি ব্যবহার করে একাধিক শিকড় খুঁজে পাওয়ার ক্ষমতা। সুতরাং, আমরা অজানা বহুগুণের একাধিক শিকড় অনুমান করার জন্য মেমরি সহ একটি পুনরাবৃত্তিমূলক স্কিম প্রস্তাব করি। যতদূর আমরা জানি, সাহিত্যে এই বৈশিষ্ট্যগুলিকে সন্তুষ্ট করার কোনও পুনরাবৃত্তিমূলক পদ্ধতি নেই।

প্রস্তাবিত স্কিমটির কনভারজেন্সের বিশ্লেষণে, কিছু দিক অবশ্যই বিবেচনায় নেওয়া উচিত, কারণ এটি মেমরির সাথে একটি পুনরাবৃত্তিমূলক পদ্ধতি তাই বেশ কয়েকটি পূর্ববর্তী পুনরাবৃত্তির ত্রুটি অবশ্যই বিবেচনা করা উচিত এবং মূল m এর বহুগুণও একটি মূল উপাদান হওয়া উচিত। প্রদর্শনের, যদিও এর নির্দিষ্ট মান জানা নেই। এই সত্যটি সম্পর্কে, এটি লক্ষ্য করা উচিত যে f (q) ( ) {{0} এর জন্য q=1, 2, . . . , m − 1 এবং f (m) ( ) 6= 0। সুতরাং, পুনরাবৃত্তিমূলক অভিব্যক্তিতে প্রদর্শিত f এবং f 0 এর চারপাশে টেলর সম্প্রসারণ এই তথ্যটিকে বিবেচনায় নেওয়া উচিত।

অন্যদিকে, যেহেতু আমাদের প্রস্তাবিত স্কিমটি একটি পুনরাবৃত্তিমূলক পদ্ধতি যা পরেরটি গণনা করার জন্য তিনটি পূর্ববর্তী পুনরাবৃত্তি ব্যবহার করে, তাদের সংশ্লিষ্ট ত্রুটিগুলির পরিপ্রেক্ষিতে ত্রুটি সমীকরণটি প্রকাশ করা এবং এটি থেকে, এর অভিসারণের ক্রম নির্ণয় করা প্রয়োজন। এটি Ortega এবং Rheinboldt [11] দ্বারা একটি শাস্ত্রীয় ফলাফল ব্যবহার করে তৈরি করা হয়েছে, যা নীচে উপস্থাপন করা হয়েছে।

উপপাদ্য 1. ψ মেমরি সহ একটি পুনরাবৃত্তিমূলক পদ্ধতি যা মূলের অনুমানগুলির একটি ক্রম {xk} তৈরি করে এবং এই ক্রমটিকে তে একত্রিত হতে দিন। যদি একটি অশূন্য ধ্রুবক η এবং ধনাত্মক সংখ্যা ti থাকে, i=0, 1, . . . , মি, যেমন অসমতা

এই পাণ্ডুলিপিতে, বিভাগ 2 একাধিক শিকড় খুঁজে বের করার জন্য প্রস্তাবিত ডেরিভেটিভ-মুক্ত পুনরাবৃত্তি পদ্ধতির নকশা এবং অভিসারী বিশ্লেষণের জন্য উৎসর্গ করা হয়েছে (এর বহুত্বের জ্ঞান ছাড়াই)। অনুচ্ছেদ 3-এ, এর স্থায়িত্ব বিশ্লেষণ করা হয়েছে সহজ এবং একাধিক মূল উভয়ের জন্য প্রাথমিক অনুমানের উপর নির্ভরতা নির্ণয় করার জন্য। ধারা 4-এ, পদ্ধতির সংখ্যাগত কার্যকারিতা বিভিন্ন পরীক্ষার ফাংশনগুলির উপর পরীক্ষা করা হয়, বিশ্লেষণ করা হয়, সেইসাথে তাদের আকর্ষণের সংশ্লিষ্ট বেসিন, বিদ্যমান শ্রোডার পদ্ধতির সাথে তুলনা করে।

2. ডিজাইন এবং কনভারজেন্স বিশ্লেষণ

আমাদের সূচনা বিন্দু হল ট্রুবের কারণে মেমরি সহ ডেরিভেটিভ-মুক্ত স্কিম [12],

এই স্কিমটির প্রধান সুবিধা হল SM1-এর চেয়ে ভাল দক্ষতার সাথে, বহুত্বের জ্ঞান ছাড়াই একটি অরৈখিক ফাংশনের সহজ, পাশাপাশি একাধিক, শিকড় খুঁজে পাওয়ার ক্ষমতা। অবশ্যই, অস্ট্রোস্কির দক্ষতা সূচক [13] ব্যবহার করে, ISM1=2 1 3 ≈ 1.25992 IgTM=1 থেকে কম৷{6}} ≈ 1.35647, যেখানে প্রতিটি সূচককে আমি p 1 d হিসাবে গণনা করছি, p সহ পদ্ধতির একত্রীকরণের ক্রম এবং d প্রতি পুনরাবৃত্তির নতুন কার্যকরী মূল্যায়নের পরিমাণ।

পরবর্তী বিভাগে, এই স্কিমের উপর একটি গতিশীল বিশ্লেষণ করা হয়েছে, যাতে এটির গুণগত কার্যকারিতা সহজ এবং একাধিক শিকড়ে দেখা যায়। যেহেতু এটি মেমরির সাথে একটি পুনরাবৃত্তিমূলক পদ্ধতি, তাই বহুমাত্রিক বাস্তব গতিবিদ্যা অবশ্যই ব্যবহার করা উচিত।

3. একাধিক রুটের জন্য মেমরি সহ প্রস্তাবিত পুনরাবৃত্তিমূলক পদ্ধতির গুণগত অধ্যয়ন

আসুন আমরা মন্তব্য করি যে আমাদের পদ্ধতিটি নিম্নলিখিতটি তৈরি করতে পূর্ববর্তী তিনটি পুনরাবৃত্তি ব্যবহার করে; অতএব, এটি সাধারণভাবে প্রকাশ করা যেতে পারে

যেখানে x0, x−1, এবং x−2 হল প্রাথমিক অনুমান। রেফারেন্স [14]-এ সংজ্ঞায়িত পদ্ধতি ব্যবহার করে, এই পদ্ধতিটিকে একটি বিচ্ছিন্ন বাস্তব বহুমাত্রিক গতিশীল সিস্টেম হিসাবে বর্ণনা করা যেতে পারে এবং এর গুণগত আচরণ বিশ্লেষণ করা যেতে পারে।

গতিশীল সিস্টেমের গুণগত কর্মক্ষমতা স্থিতিশীলতার পরিপ্রেক্ষিতে তাদের স্থির বিন্দুগুলির চরিত্রায়নে একটি মূল উপাদান রয়েছে। 1 SF Υ এর স্থির বিন্দু গণনা করতে, একটি সহায়ক ভেক্টরিয়াল ফাংশন M: R3 −→ R3 সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে, 1 SF Υ এর সাথে সম্পর্কিত ব্যবহার করে:

অধিকন্তু, জ্যাকোবিয়ান ম্যাট্রিক্স M{{0}}-এর একটি eigenvalue λi থাকলে একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে মূল্যায়ন করা হয় x ∗ সন্তোষজনক |λi|< 1 এবং আরেকটি λj যেমন |λj|> 1, তারপর, x ∗ কে স্যাডল ফিক্সড পয়েন্ট বলে। এক-মাত্রিক গতিবিদ্যায় ধারণার সম্প্রসারণ হিসাবে, যদি M0 (x ∗ ) এর eigenvalues ​​|λj|j=1, 2, এর সমস্ত মানের জন্য=0। . . , m, তারপর, স্থির বিন্দু x ∗ শুধুমাত্র আকর্ষণই করে না বরং অতি আকর্ষকও বটে। অতএব, পদ্ধতিটির দ্বিঘাত অভিসরণ রয়েছে, অন্তত অরৈখিক ফাংশনগুলির শ্রেণিতে যা মূলদ ফাংশনটি অর্জন করে (রেফারেন্স [12] দেখুন)।

x ∗ কে M এর একটি আকর্ষণকারী স্থির বিন্দু বিবেচনা করে, এর আকর্ষণের বেসিন A(x ∗ ) যেকোন অর্ডারের প্রিমেজের সেট হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়

একাধিক শিকড় সহ অরৈখিক সমীকরণগুলি সমাধানের জন্য ডিজাইন করা বিভিন্ন পুনরাবৃত্তিমূলক স্কিমগুলির গুণগত কার্যকারিতা বিভিন্ন লেখক দ্বারা অধ্যয়ন করা হয়েছে (উদাহরণস্বরূপ, রেফারেন্স [17-19] দেখুন)। এটি বিচ্ছিন্ন জটিল গতিবিদ্যা ব্যবহার করে তৈরি করা হয়েছে, কারণ এই সমস্ত স্কিমগুলি মেমরি ছাড়াই। এই গবেষণায়, এটি প্রাপ্ত করা হয়েছে যে, যখন একাধিক শিকড় খুঁজে বের করার জন্য একটি পুনরাবৃত্তিমূলক পদ্ধতি (মেমরি ছাড়া) একটি অরৈখিক ফাংশনে সরল এবং একাধিক মূল উভয়ের সাথে কাজ করে, তখন এটি খুবই স্বাভাবিক যে সরল শিকড়গুলির আকর্ষণের বেসিনগুলি সংকীর্ণ হয়। একাধিক শিকড় যারা. প্রকৃতপক্ষে, এই সাধারণ শিকড়গুলি যুক্তিযুক্ত ফাংশনের নির্দিষ্ট বিন্দুগুলিকে সংজ্ঞায়িত করতে পারে যা বিকর্ষণমূলক। অতএব, পুনরাবৃত্তিমূলক পদ্ধতি শুধুমাত্র একাধিক শিকড় খুঁজে পেতে সক্ষম হওয়া উচিত।

নিম্নোক্ত গুণগত বিশ্লেষণটি p(x)=(x + 1)(x −1) m, m 1 এর থেকে বড় বা সমান যাতে করা হয় যাতে স্কিমটির সক্ষমতা সহজ এবং একাধিক শিকড় (m গুণিতকতা সহ) পরীক্ষা করা হয়।

বিশ্লেষণাত্মক ফলাফলগুলি কল্পনা করার জন্য একটি খুব দরকারী টুল হল সিস্টেমের গতিশীল সমতল, যা বিভিন্ন আকর্ষণের বেসিনের একটি সেট দ্বারা গঠিত। এখানে, প্রস্তাবিত পদ্ধতি gTM-এর গতিশীল সমতল স্টার্টিং গ্রিডে w এর একটি নির্দিষ্ট মানের জন্য 800 × 800 প্রারম্ভিক বিন্দু (z, x) এর একটি জালের কক্ষপথ গণনা করে তৈরি করা হয়েছে। যেহেতু পুনরাবৃত্ত স্কিমগুলি তিনটি প্রাথমিক অনুমান দিয়ে শুরু করতে হবে, তাই আমরা গতিশীল সমতলগুলির একটি জাল তৈরি করি, যার প্রতিটির একটি নির্দিষ্ট মান w এর ব্যবধানে [−1.75, 1.75]। এই পর্যায়ের প্রতিকৃতিতে, জালের প্রতিটি বিন্দু বিভিন্ন রঙে আঁকা হয় (এই ক্ষেত্রে কমলা এবং সবুজ), তারা যে আকর্ষণকারীর সাথে একত্রিত হয় তার উপর নির্ভর করে (একটি সাদা তারা হিসাবে চিহ্নিত), 10−3 সহনশীলতা সহ। উপরন্তু, যদি কক্ষপথ সর্বাধিক 500 পুনরাবৃত্তির মধ্যে কোন আকর্ষণীয় নির্দিষ্ট বিন্দুতে না পৌঁছায় তবে তারা কালো রঙে প্রদর্শিত হয়। যেহেতু w এর নির্দিষ্ট মান [−1.75, 1.75] এর অন্তর্গত মানের ভেক্টরে পরিবর্তিত হয়, এটি প্রতিটি গুণের জন্য পরিসংখ্যানের একটি সংমিশ্রণ তৈরি করে, যা এক ধরণের কনট্যুর প্লটের জন্ম দেয়।

চিত্র 1-এ, আমরা p(x) তে জিটিএম স্কিমের কার্যক্ষমতা দেখাই, অর্থাৎ, সরল শিকড়ের জন্য যুক্তিবাদী অপারেটর TM-এর। [−2, 2]-এ তিনটি প্রথম পুনরাবৃত্তি সহ বিভিন্ন প্লটের আচরণ পর্যবেক্ষণ করে, স্থিতিশীল সম্ভাব্যতা লক্ষ্য করা যায়। শিকড়ের আকর্ষণের অববাহিকাগুলিই কেবল; এগুলি প্রশস্ত, এবং একমাত্র ভিন্ন কর্মক্ষমতা (বেসিনগুলির মধ্যে সীমানার সরলতার ক্ষেত্রে অন্যদের চেয়ে ভাল) হল কেস w=0, যেখানে যৌক্তিক ফাংশন সরলীকৃত হয়। সব ক্ষেত্রে, এটি লক্ষ্য করা যায় যে পদ্ধতি জিটিএম-এর একমাত্র সম্ভাব্য আচরণ হল শিকড়ের সাথে অভিসারন।

অন্যদিকে, চিত্র 2-এ, যখন একটি শিকড় দ্বিগুণ হয় এবং অন্যটি সরল হয় তখন আমরা খুব অনুরূপ কর্মক্ষমতা দেখাই। আকর্ষণের অববাহিকাগুলি সমানভাবে প্রশস্ত, এবং অন্যান্য বহুগুণ অন্বেষণ করা হলে এই আচরণটি খুব অনুরূপ। উপরন্তু, এই ক্ষেত্রে দেখা যায় যে শুধুমাত্র শিকড়গুলির সাথে অভিসারী হয়, কারণ গাঢ় অঞ্চলগুলির আকর্ষণের অববাহিকার সীমানার উচ্চতর জটিলতার কারণে শুধুমাত্র ধীর অভিসারী হয়।

4. সংখ্যাগত কর্মক্ষমতা এবং গতিশীল পরীক্ষা

এই বিভাগে, আমরা তিনটি পদ্ধতির তুলনা করি, যথা SM2 (বহুত্বের জ্ঞানের প্রয়োজন), SM1 এবং জিটিএম (ট্রুবের পদ্ধতি থেকে প্রাপ্ত)। শেষ দুটি পদ্ধতির গুণগত জ্ঞানের প্রয়োজন হয় না, তবে তাদের প্রতি পুনরাবৃত্তি ধাপে অতিরিক্ত কার্যকরী মূল্যায়নের প্রয়োজন হয় (এসএম 1 এর ক্ষেত্রে তিনটি, জিটিএম ক্ষেত্রে দুটি)।

পদ্ধতি দুটি গুণগতভাবে আকর্ষণ পরিসংখ্যানের বেসিনের মাধ্যমে এবং পরিমাণগতভাবে বিভিন্ন ব্যবস্থার মাধ্যমে তুলনা করা হয়। এই পরিমাপগুলি হল সিপিইউ রান-টাইম যা মূল কেন্দ্রে 6 বাই 6 বর্গক্ষেত্রে পয়েন্টে পদ্ধতি চালানোর জন্য। আমরা সমানভাবে অনুভূমিক এবং উল্লম্ব রেখা দ্বারা বর্গক্ষেত্রকে ভাগ করেছি এবং পুনরাবৃত্তি প্রক্রিয়ার জন্য প্রাথমিক বিন্দু হিসাবে ছেদগুলির সমস্ত বিন্দুকে নিয়েছি।

TM এর জন্য, মেমরি সহ একটি পদ্ধতি, আমাদের দুটি অতিরিক্ত প্রারম্ভিক বিন্দু x−1=x0 + d এবং x−2=x0 + 2d নিতে হয়েছিল, যেখানে d হল লাইনের ব্যবধান। কোড দ্বারা সংগৃহীত আরেকটি মানদণ্ড হল বিন্দু প্রতি পুনরাবৃত্তির গড় সংখ্যা (AIPP), কিন্তু, যেহেতু পদ্ধতিগুলির জন্য প্রতি ধাপে ভিন্ন সংখ্যক কার্যকরী মূল্যায়ন প্রয়োজন, তাই আমরা প্রতি পয়েন্টে (AFPP) ফাংশনের গড় সংখ্যা নিয়েছি। তৃতীয় মাপকাঠি হল ভিন্ন বিন্দুর সংখ্যা (DP), এটি সেই বিন্দুর সংখ্যা যার জন্য পদ্ধতিটি 10−7 এর সহনশীলতা ব্যবহার করে 40টি পুনরাবৃত্তিতে একত্রিত হয়নি।

চিত্র 3-এর উপর ভিত্তি করে, এটা স্পষ্ট যে SM1 এবং SM2-এ একই রকম বেসিন রয়েছে এবং GTM-এর দুটি বেসিনের মধ্যে সীমানায় আরও লোব রয়েছে। চিত্র 4 থেকে, আমরা লক্ষ্য করেছি যে জিটিএম SM1 থেকে ভাল। পরের 3টি পরিসংখ্যানে, জিটিএম সবচেয়ে ভাল, যেখানে আকর্ষণের বিস্তৃত অববাহিকা এবং সরু কালো অংশগুলি শিকড়ের সাথে মিলিত হয় না। এই কর্মক্ষমতা এমনকি অ-বহুপদ ফাংশন f5 জন্য অনুষ্ঠিত হয়. তদুপরি, চিত্র 8-এ, এটি লক্ষ্য করা যায় যে পদ্ধতি SM2 এর আকর্ষণের অববাহিকাগুলি আমাদের জিটিএম পদ্ধতির চেয়ে প্রশস্ত।

আমরা এখন সারণি 1-3-এর ডেটা উল্লেখ করি। সেকেন্ডে CPU রান-টাইম সারণি 2 এ দেওয়া হয়েছে। SM2 ধারাবাহিকভাবে অন্যদের তুলনায় দ্রুততর। যদি বহুগুণ জানা না থাকে, তাহলে প্রথম উদাহরণ ব্যতীত জিটিএম SM1 এর চেয়ে দ্রুত। গড়ে, জিটিএম SM1 এর চেয়ে দ্রুত।

প্রতি পয়েন্টে ফাংশন মূল্যায়নের গড় সংখ্যা (সারণী 2 দেখুন) সমস্ত উদাহরণের জন্য SM1-এর জন্য সর্বোচ্চ। মনে রাখবেন যে শেষ উদাহরণটি সমস্ত পদ্ধতির জন্য সবচেয়ে কঠিন। 1, 3, এবং 4 উদাহরণের জন্য জিটিএম-এর জন্য ডাইভারজেন্ট পয়েন্টের সংখ্যা সর্বনিম্ন। প্রথম 6টি উদাহরণের জন্য SM1-তে সবচেয়ে বেশি ভিন্ন বিন্দু রয়েছে, কিন্তু, শেষ উদাহরণে, জিটিএম খারাপভাবে পারফর্ম করেছে এবং সামগ্রিকভাবে তৃতীয় স্থানে উঠেছে। SM2 পদ্ধতিটি গড়ে 3টি বিভাগের জন্য সর্বোত্তম ছিল এবং 2টি বিভাগের জন্য gTM অনুসরণ করা হয়েছে।

5। উপসংহার

একটি নতুন পুনরাবৃত্ত স্কিম মেমরির সাথে সহজ এবং একাধিক শিকড় (তাদের বহুগুণ জানার প্রয়োজন ছাড়া) খুঁজে পাওয়ার ক্ষমতা তৈরি করা হয়েছে। এটি, যতদূর আমরা জানি, সাহিত্যে এই বৈশিষ্ট্যগুলির সাথে প্রথম পদ্ধতি। প্রতি পুনরাবৃত্তিতে দুটি নতুন কার্যকরী মূল্যায়নের সাথে এটির অভিসারণের ক্রম প্রায় 1.84 হিসাবে প্রমাণিত হয়েছে; এটি মেমরি SM1 ছাড়াই শ্রোডার স্কিমের কার্যকারিতা উন্নত করার স্কিম দেয়, যার একই বৈশিষ্ট্য রয়েছে। বহুমাত্রিক বাস্তব বিযুক্ত গতিবিদ্যা এবং সহজ এবং একাধিক শিকড় সহ নিম্ন-ডিগ্রী বহুপদ ব্যবহার করে, প্রস্তাবিত স্কিমের স্থায়িত্ব বিশ্লেষণ করা হয়েছে, উভয় ধরণের শিকড়ের অভিসারের বিস্তৃত ক্ষেত্র দেখায়।

শেষ বিভাগে, শ্রোডার এবং জিটিএম পদ্ধতিগুলি বেশ কয়েকটি উদাহরণের উপর চলমান আমাদের এই উপসংহারে পৌঁছানোর অনুমতি দিয়েছে যে, যদি বহুগুণ আগে থেকেই জানা যায়, তাহলে, SM1 এবং gTM প্রতিযোগিতা করতে পারে না, যদিও জিটিএম SM1 থেকে ভাল। যাইহোক, যখন বহুগুণ জানা যায় না, প্রস্তাবিত পদ্ধতি জিটিএম SM1 পদ্ধতির তুলনায় খুব ভাল কার্যকারিতা এবং ভাল দক্ষতা দেখায়, কার্যকর করার সময়, গণনামূলক খরচ এবং আকর্ষণের বেসিনের প্রশস্ততার ক্ষেত্রে।

লেখকের অবদান:

ধারণা, এসি এবং জেআরটি; পদ্ধতি, BN; সফ্টওয়্যার, এসি এবং বিএন; বৈধতা, BN; আনুষ্ঠানিক বিশ্লেষণ, JRT; তদন্ত, এসি; লেখা—মূল খসড়া প্রস্তুতি, এসি এবং বিএন; লেখা-পর্যালোচনা এবং সম্পাদনা, JRT; তত্ত্বাবধান, BN এবং JRT সমস্ত লেখক পাণ্ডুলিপির প্রকাশিত সংস্করণ পড়েছেন এবং সম্মত হয়েছেন।

অর্থায়ন:

এই গবেষণাটি আংশিকভাবে PGC2018-095896-B-C22 (MCIU/AEI/FEDER, UE) দ্বারা সমর্থিত ছিল।

অবহিত সম্মতি বিবৃতি:

প্রযোজ্য নয়।

স্বীকৃতি:

লেখক বেনামী পর্যালোচকদের তাদের পরামর্শ এবং মন্তব্যের জন্য ধন্যবাদ জানাতে চান যা এই পাণ্ডুলিপির চূড়ান্ত সংস্করণটিকে উন্নত করেছে।

স্বার্থের সংঘাত:

লেখক আগ্রহের কোন দ্বন্দ্ব ঘোষণা।

তথ্যসূত্র

1. পেটকোভিক, এম.; নেতা, বি.; পেটকোভিক, এল.; Džunic, J. অরৈখিক সমীকরণ সমাধানের জন্য বহুবিন্দু পদ্ধতি; একাডেমিক প্রেস: অক্সফোর্ড, ইউকে, 2013।

2. আমাত, এস.; Busquier, S. অরৈখিক সমীকরণের জন্য পুনরাবৃত্তিমূলক পদ্ধতিতে অগ্রগতি; সেমা সিমাই স্প্রিংগার সিরিজ 10; স্প্রিংগার: চ্যাম, সুইজারল্যান্ড, 2016।

3. বেহল, আর.; কর্ডেরো, এ.; Torregrosa, JR একাধিক মূলের জন্য একটি নতুন উচ্চ-অর্ডার সর্বোত্তম ডেরিভেটিভ-মুক্ত স্কিম। জে. কম্পিউট। আবেদন গণিত 2021, 113773, প্রেসে। [ক্রসরেফ]

4. কুমার, এস.; কুমার, ডি.; শর্মা, জেআর; সিজারানো, সি.; আগরওয়াল, পি.; Chu, YM একাধিক মূলের জন্য একটি সর্বোত্তম চতুর্থ-ক্রম ডেরিভেটিভ-মুক্ত সংখ্যাসূচক অ্যালগরিদম। প্রতিসাম্য 2020, 12, 1038। [CrossRef]

5. আকরাম, এস.; আকরাম, এফ.; জুনজুয়া, এম.; আরশাদ, এম.; আফজাল, টি. একাধিক শিকড় এবং এর গতিবিদ্যার জন্য সর্বোত্তম অষ্টম ক্রম পুনরাবৃত্তিমূলক ফাংশনের একটি পরিবার। জে. গণিত। 2021, 77, 1249-1272।

6. শর্মা, জেআর; অরোরা, এইচ. অরৈখিক সমীকরণের একাধিক শিকড় খোঁজার জন্য পঞ্চম-ক্রমের পুনরাবৃত্তিমূলক পদ্ধতির একটি পরিবার। সংখ্যা। পায়ুপথ। আবেদন 2021, 14, 186-199। [ক্রসরেফ]

7. কুমার, এস.; কুমার, ডি.; শর্মা, জেআর; Argyros, IK একাধিক মূলের জন্য চতুর্থ-ক্রম ডেরিভেটিভ-মুক্ত পদ্ধতির একটি দক্ষ শ্রেণী। int. জে. অরৈখিক বিজ্ঞান সংখ্যা। সিমুল। 2021। [ক্রসরেফ]

8. জাফর, এফ.; কর্ডেরো, এ.; Torregrosa, JR অরৈখিক সমীকরণের একাধিক মূলের জন্য সর্বোত্তম চতুর্থ ক্রম পদ্ধতির একটি পরিবার। গণিত পদ্ধতি Appl. বিজ্ঞান 2020, 43, 7869–7884। [ক্রসরেফ]

9. Schröder, E. Über unendlich viele Algorithmen zur Auflösung der Gleichungen. গণিত অ্যান. 1870, 2, 317-365। [ক্রসরেফ]

10. কুং, এইচটি; Traub, JF এক-পয়েন্ট এবং মাল্টিপয়েন্ট পুনরাবৃত্তির সর্বোত্তম ক্রম। J. Assoc. কম্পিউট মাখ। 1974, 21, 643-651। [ক্রসরেফ]

11. ওর্তেগা, জেএম; রেইনবোল্ট, বেশ কয়েকটি ভেরিয়েবলের অরৈখিক সমীকরণের WC পুনরাবৃত্তিমূলক সমাধান; একাডেমিক প্রেস: কেমব্রিজ, এমএ, মার্কিন যুক্তরাষ্ট্র, 1970।

12. সমীকরণের সমাধানের জন্য ট্রাব, জেএফ পুনরাবৃত্তিমূলক পদ্ধতি; প্রেন্টিস-হল: হোবোকেন, এনজে, মার্কিন যুক্তরাষ্ট্র, 1964।

13. অস্ট্রোস্কি, AM সমীকরণ এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধান; একাডেমিক প্রেস: নিউ ইয়র্ক, এনওয়াই, মার্কিন যুক্তরাষ্ট্র; লন্ডন, যুক্তরাজ্য, 1966।

14. ক্যাম্পোস, বি.; কর্ডেরো, এ.; টরেগ্রোসা, জেআর; ভিনডেল, পি. মেমরি সহ পুনরাবৃত্তিমূলক পদ্ধতিতে বহুমাত্রিক গতিশীল পদ্ধতি। আবেদন গণিত কম্পিউট 2015, 271, 701–715। [ক্রসরেফ]

15. ডেভানি, আরএল বিশৃঙ্খল গতিশীল সিস্টেমের একটি ভূমিকা; গণিত এবং প্রকৌশলে অগ্রগতি; CRC প্রেস: Boca Raton, FL, USA, 2003.

For more information:1950477648nn@gmail.com